ИНТЕГРАЛ (одређен и неодређен) - погледајте вежбе на страници WolframAlpha
ОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ
РАЧУНАЊЕ ПОВРШИНЕ
Рачунање површина многоуглова, као и површина полиедара, је релативно једноставно, с обзиром да се може свести на израчунавањење површина троуглова. (Наиме, сваки се многоугао на разне начине може поделити на троуглове).
Међутим, рачунање површина чак и равних ликова који су оивичени произвољним линијама није тако једноставно. Архимед је , у својој књизи "О мерењу круга" описао поступак ЕКСХАУСТИЈЕ (исцрпљивања) примењен на рачунање површине круга и помоћу њега добио апроксимацију броја Пи (између 3 цела и 10/71 и 3 цела и 1/7). Поступак се састоји у уписивању многоуглова у круг произвољног полупречника (или описивању многоуглова око круга), при чему се повећавањем броја страница површина многоугла приближава површини круга. Сам Архимед полази од једнакостраничног троугла, а затим удваја број страница и рачунајући површину одговарајућих правилних многоуглова добија поменуте апроксимације броја Пи за правилан многоугао од 96 страница. У основи овог поступка је да се рачунање површине круга своди на сабирање све већег броја све мањих површина - површина карактеристичног троугла је све мања, али им се број повећава са повећањем броја страница многоугла. Уколико би се поступак наставио до у бесконачност, практично бисмо препокрили круг свим његовим полупречницима. Сличан поступак користи и Квалиери за упоређивање површина равних ликова и упоређивање запремина тела. Поставља се питање да ли је и како поступак ексхаустије могуће проширити на рачунање површине произвољнe равне фигуре. Показаће се да је управо овај процес повезан са одређивањем примитивне функције, тј. са интегралом. |
АРХИМЕДОВ ПОСТУПАК - удвајање броја страница уписаних правилних многоуглова
Полупречник круга је 1, тако да је површина круга једнака броју Пи. Поступак ексхаустије спроведен повећавањем броја страница правилног уписаног многоугла
Са повећањем броја страница правилног многоугла, површина уписаног многоугла се приближава површини круга (у овом случају броју Пи, јер је полупречник круга једнак 1) |
ПРИМЕНА ОДРЕЂЕНОГ ИНТЕГРАЛА
Интересантна прича о открићу диференцијалног диференцијалног и интегралног рачуна: