Алгебарски изрази - проблемски задаци
АЛГЕБАРСКИ РАЗЛОМЦИ
ДЕФИНИСАНОСТ
Алгебарски разломци су изрази облика \( \frac {A}{B} \), где су А и В алгебарски изрази. Нпр. \( \frac {x-2}{x+3} \), \(\frac{x+5}{x^2-2x-8} \), итд.
Како у овим изразима учествује и операција дељења, а ДЕЉЕЊЕ НУЛОМ НИЈЕ ДЕФИНИСАНО, неопходно је водити рачуна о УСЛОВИМА ДЕФИНИСАНОСТИ.
То значи да у изразу \( \frac {A}{B} \), мора бити задовољен услов \( B \neq 0 \).
Пример1. За које вредности променљиве х је дефинисан израз \( \frac {x-2}{x+3} \).
Именилац разломка (делилац) мора бити раличит од нуле, па постављамо услов \( x+3 \neq 0\), односно \( x \neq-3 \). Дакле, дати израз је дефинисан за све реалне бројеве осим за -3.
Пример2. За које вредности променљиве х је дефинисан израз \( \frac{x+5}{x^2-2x-8} \).
Као и у претходном примеру, неопходно је да именилац буде различит од нуле, тј. \( x^2-2x-8 \neq0 \). Но да бисмо одредили све вредности променљиве х за које је услов задовољен, потребно је раставити полином на ПРОСТЕ чиниоце. У овом случају у питању је квадратни трином, па је један од начина да се он растави на чиниоце допуна до потпуног квадрата: \[ x^2-2x-8=x^2-2x+1-1-8=(x-1)^2-3^2=(x-4)(x+2) \neq 0 \]. Сваки чинилац мора бити различит од нуле, па добијамо \[x-4 \neq0 \land x+2 \neq0 \Rightarrow x \neq4 \land x\neq-2 \].
Пример3. Одредити услове дефинисаности израза \( \frac {a^2-3ab-4b^2}{a^2-4b^2} \).
Слично претходним примерима: \( a^2-4b^2 \neq0 \), полином раставимо на просте чиниоце, и сваки од њих је различит од нуле \[ (a-2b)(a+2b) \neq0 \space \Rightarrow \space a-2b \neq0 \space \land \space a+2b \neq0 \] Услови могу остати у овом облику или евентуално као \[ a \neq2b \space \land a\neq-2b \]
ПРОШИРИВАЊЕ И СКРАЋИВАЊЕ
Под скраћивањем разломка подразумевамо дељење бројиоца и имениоца истим бројем или изразом, док проширити разломак значи помножити бројилац и именилац истим изразом (или бројем), тј. \[ \frac{A\cdot C }{B \cdot C } = \frac{A}{B} \] уз обавезно постављање услова дефинисаности, тј. \[ B \neq 0 \space \land \space C \neq 0\].
Примери - Скратити разломке
1. \( \frac {a^2-8a+16}{a^2 b-4ab} \) 2. \( \frac {a^2-3a+2}{a^2+2a-3} \) 3. \( \frac {a^2-ax+a-x}{a^2 -ax-a+x} \) 4. \( \frac {a^2-b^2-c^2+2ac}{a^2-b^2-c^2+2bc} \) |
При скраћивању разломака неопходно је урадити следеће кораке:
|
1. Растављањем на чиниоце добија се \(\frac {a^2-8a+16}{a^2 b-4ab} =\frac {(a-4)^2}{ab(a-4)} \), заједнички делилац је \( a-4 \), па се након скраћивања добија \(\frac{a-4}{ab} \). Крајњи разломак је дефинисан за \( a \neq0 \) и \( b \neq0 \). Meђутим, због скраћивања са \( a-4 \) постављамо и услов \( a-4 \neq 0 \) тј. \( a \neq 4 \). Коначно, услови су \( a, b \neq0 \), \(a\neq4\).
2. Прво раставимо бројилац и именилац на просте чиниоце
\( a^2-3a+2 = a^2- 2a\cdot \frac {3}{2} + ( \frac {3}{2} )^2 - (\frac {3}{2})^2 + 2 = (a- \frac {3}{2})^2 - ( \frac {1}{2})^2 = (a-1)(a-2) \)
\( a^2+2a-3 = a^2- 2a + 1 -1 -3= (a+1)^2 - 2^2 = (a-1)(a+3) \)
Заменом у дати израз добијамо \( \frac {a^2-3a+2}{a^2+2a-3} =\frac {(a-1)(a-2)}{(a-1)(a+3)} = \frac {a-2}{a+3}\)
Не заборавимо услове \(a+3 \neq0 \space \land \space a-1 \neq0 \), тј. \(a \neq 1,\space-3 \)
\( a^2-3a+2 = a^2- 2a\cdot \frac {3}{2} + ( \frac {3}{2} )^2 - (\frac {3}{2})^2 + 2 = (a- \frac {3}{2})^2 - ( \frac {1}{2})^2 = (a-1)(a-2) \)
\( a^2+2a-3 = a^2- 2a + 1 -1 -3= (a+1)^2 - 2^2 = (a-1)(a+3) \)
Заменом у дати израз добијамо \( \frac {a^2-3a+2}{a^2+2a-3} =\frac {(a-1)(a-2)}{(a-1)(a+3)} = \frac {a-2}{a+3}\)
Не заборавимо услове \(a+3 \neq0 \space \land \space a-1 \neq0 \), тј. \(a \neq 1,\space-3 \)
Примере за вежбу можете пронаћи ОВДЕ. Не заборавите услове!!!
МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ
Алгебарски разломци се множе и деле на исти начин као и бројни разломци, с тим да се у овом случају мора водити рачуна о условима дефинисаности. Дакле,
\( \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \), уз услов \( B \neq 0 \space \land \space D \neq 0 \)
\( \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} =\frac{AD}{BC} \), уз услов \(B \neq 0 \space \land \space C\neq 0 \space \land \space D \neq 0 \)
\( \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \), уз услов \( B \neq 0 \space \land \space D \neq 0 \)
\( \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} =\frac{AD}{BC} \), уз услов \(B \neq 0 \space \land \space C\neq 0 \space \land \space D \neq 0 \)
Пример: Упростити израз
\( \frac{ab+b^2-ac-bc}{a^2-ab+ac-bc}: \frac{a^2+ab-ac-bc}{ab-b^2-ac+bc} \)
Раставимо полиноме на чиниоце, "преведемо" дељење у множење (помножимо реципрочном вредношћу) , скратимо разломке и поставимо услове.
\( \frac{ab+b^2-ac-bc}{a^2-ab+ac-bc}: \frac{a^2+ab-ac-bc}{ab-b^2-ac+bc} = \frac{b(a+b)-c(a+b)}{a(a-b)+c(a-b)}: \frac{a(a+b)-c(a+b)}{b(a-b)-c(a-b)}= \frac{(a+b)(b-c)}{(a-b)(a+c)} \cdot \frac{(a-b)(b-c)}{(a+b)(a-c)}= \frac{(b-c)^2}{a^2-c^2}\)
\( a-b, \space a+c, \space a+b, \space a-c, \space b-c \neq0 \)