Све науке које за свој предмет истраживања имају поредак или меру односе се на математику. Мало је при томе важно да ли се мера тражи бројевима, облицима, звездама, звуцима или нечем другом. Према томе, постоји општа наука која објашњава све што се може знати о поретку и мери независно од примене на коју било другу област и та наука, како је дугом употребом утврђено, назива се математика. А доказ да она превазилази једноставношћу и значајем све друге науке лежи у томе што она обухвата одједном многе објекте независно од њихове природе. (Декарт - извор др Мирко Стојаковић, Методе и техника истраживања у математици)
На подручју математике, правилна подела равни разматрана је теоријски, будући да чини део кристалографије. Да ли то онда значи да је ово искључиво математичко питање? По мом мишљењу, не. Кристалографи су пружили одређење тог појма, утврдили су који су и колико је начина и путева да се раван подели на правилан начин. Учинивши то, отворили су врата огромног подручја, али у њега нису ушли. По природи их је више занимало да сазнају како се врата отварају него какав врт лежи иза њих. Дозволите ми да развијем ову метафору: једном давно ми је, док сам лутао, успело да се нађем испред тог подручја. Видео сам висок зид, и како сам имао осећање да ћу иза њега пронаћи нешто тајанствено, са напором сам се попео преко њега. На другој страни спазио сам пустињу, коју сам морао да пређем са великим напором све док нисам, ходајући по завојитим путевима, доспео до отворене капије, отворене капије математике. Одатле су у свим правцима водили јасно оцртани путеви, и од тада сам често боравио тамо. Понекад помислим да сам прешао цело подручје, ходао свим стазама и дивио се свим видицима. Онда одједном откријем нову стазу и искусим ново усхићење. Ступам сасвим сам кроз тај дивни врт, који сигурно не припада само мени, чија су врата отворена свима. Осећам притом освежавајући, али понекад и тешки укус усамљености. Зато сам годинама покушавао да обзнаним постојање овог врта, и зато сада састављам ову књигу од речи и слика - чак иако не очекујем да ће много људи похрлити ка њему. Јер оно што мене задивљује, оно што код мене изазива осећај лепоте, често код других наилази на сув и уздржан пријем. (М.К.Ешер - Истраживање бесконачности, ИП Еsotheria, Београд, 1998.)
ARS MAGNA
Др Мирко Стојаковић - Стазама математике, РУ "Радивој Ћирпанов", Нови Сад, 1977.
Од како је човек на почетку свог "издвајања" из осталог живог света научио да броји, од тада је ваљда и почео да појам броја апсолутизује. Пре две и по хиљаде година у нашем суседству, у Грчкој, поклоници броја били су на "власти". Читав један филозофски правац заступао је идеју да број чини основу свега што постоји.
Пре него што се човек подсмехне тој питагорејској идеји изједначавања броја са природом, треба да размисли: у данашње доба, кад електронски рачунари прожимају сваку пору живота савременог човека, идеја по којој је број све и није тако далека од истине. Сем тога, претеча те мисли и њен главни носилац није био нико други него велики Платон, чија филозофија практично никада није престала да утиче на мислиоце целог света и свих времена.
Оно што је Грке учврстило у уверењу да је у основи свега број јесте чињеница да се бројем могу исказати и форма и, наравно, величина објеката, али и њихова садржина, као и то да игра односа између објеката јесте у основи игра између бројева. Сведено на "две речи": материја и њено кретање описују се бројевима. Ако се број јављао тада, у то старо време, на тако природном месту као што је пијаца, он се јављао и на тако чудном месту као што је музика - музика обична и музика речи, као што је граматика.
Кад се данас говори о томе како математика продире у све области човековог стварања, треба се сетити да је она у многима од тих области већ одавно била: то је један од резултата питагорејске школе.
Математика, као наука о бројевима, још у давна времена називана је великом вештином - аrs magna. Пошто су били формулисани поступци за решавање многих практичних проблема. природно се дошло на мисао да би морао постојати и неки универзални поступак, алгоритам, који би решавао све математичке проблеме.
Нешто слично дешавало се и у физици, где су узалуд правили перпетум мобиле, или у хемији, где су тражили еликсир живота и покушавали да праве злато од свега и свачега. Један такав математички перпетум мобиле требало је наћи у облику "сверешавајућег алгоритма". Негде на прелазу између XIII и XIV века Шпанац Лулус, у делу под насловом Ars Magna, инспирисан арапском математиком, описао је један такав универзални поступак. Наравно, био је то промашај што се тиче конструкције самог поступка, али је идеја јасно казана - а то "није за бацање". (Историчар Мориц Кантор за овај Лулусов поступак рекао је да је то "мешавина логике, кабалистичке и сопствене глупости у коју је сам бог зна како, упало и понеко зрно здравог разума".)
Утицај Лулуса на касније математичке ствараоце био је велики. Две стотине година касније Кардано је, у духу Лулуса и опет под називом Ars Magna, формулисао алгебарске алгоритме за решавање једначина, а каснији развитак алгебре протицао је у знаку тражења универзалног алгоритма. Кад је, још стотинак година касније, Декарт увео аналитичку геомeтрију којом се решавање проблема геометрије своди на решавање одговарајућiх проблема у алгебри, изгледало је да расту шансе за проналажење тог "чаробног штапића" у виду општег алгоритма који би у математици био "девојка за све".
Међутим, "тврдих ораха" је одувек у математици било много, па су сви "генијални" поступци о њих ломили зубе. Поступци за чије је описивање било потребно неколико страна текста "падали" су пред проблемима који су се могли исказати у два реда.
Тако су сваком алгоритмизирању измицали популарни древни проблеми удвајања коцке, трисекције угла, квадратуре круга и мање популарни новији проблеми о паралелама, решавању једначине петог степена и представљању степена збиром два степена (Ферматов проблем). Све ово морало је довести до сумње у "велику вештину" - математику. Некако у исто време када су физичари престали да траже перпетум мобиле, хемичари да трагају за еликсиром живота, а филозофи за каменом мудрости, математичари су увидели да општи поступак за решавање свих проблема неће моћи да се конструише.
При формулисању било којег поступка наводе се и средства којима се тај поступак служи: квадратуру круга требало је извести искључиво помоћу шестара и лењира, а тим средствима она се није дала извести. Другим средствима квадратура се може извести, али онда се јављају нови проблеми за чија решавања ни та нова средства нису довољна. И тако даље. Савремени математичар Аустријанац Курт Гедел доказао је, упрошћено речено, да каквим год се средствима служили, увек има проблема за чије решавање наведена средства нису довољна. Ту је и крај сваком сну о великој вештини у математици. Сведена на просту мисао - ту је крај свакој нади да би математика могла имати крај! Од времена Аристотела до данашњих дана већи напредак у логици није учињен од напретка који је учињен радовима Гедела.
Сада се зна: универзалног алгоритма нема. Када се каже да електронски мозак све може, то је пре књижевна фигура него чињеница. Чињеница је само то да електронски мозак много уме, много може и, нарочито, брзо може да изведе оно што уме и може, али он се служи одређеним средствима, а оно што се тим средствима да остварити чини скуп чије се границе даду сагледати.
Велика грешка твораца идеје о великој вештини - о ars magna састојала се у томе што су самим лансирањем мисли о општем поступку као неком камену мудрости, у суштини, исказали мисао о могућем крајњем домету стваралаштва. А таквог краја нема и - добро је што га нема.
Пре него што се човек подсмехне тој питагорејској идеји изједначавања броја са природом, треба да размисли: у данашње доба, кад електронски рачунари прожимају сваку пору живота савременог човека, идеја по којој је број све и није тако далека од истине. Сем тога, претеча те мисли и њен главни носилац није био нико други него велики Платон, чија филозофија практично никада није престала да утиче на мислиоце целог света и свих времена.
Оно што је Грке учврстило у уверењу да је у основи свега број јесте чињеница да се бројем могу исказати и форма и, наравно, величина објеката, али и њихова садржина, као и то да игра односа између објеката јесте у основи игра између бројева. Сведено на "две речи": материја и њено кретање описују се бројевима. Ако се број јављао тада, у то старо време, на тако природном месту као што је пијаца, он се јављао и на тако чудном месту као што је музика - музика обична и музика речи, као што је граматика.
Кад се данас говори о томе како математика продире у све области човековог стварања, треба се сетити да је она у многима од тих области већ одавно била: то је један од резултата питагорејске школе.
Математика, као наука о бројевима, још у давна времена називана је великом вештином - аrs magna. Пошто су били формулисани поступци за решавање многих практичних проблема. природно се дошло на мисао да би морао постојати и неки универзални поступак, алгоритам, који би решавао све математичке проблеме.
Нешто слично дешавало се и у физици, где су узалуд правили перпетум мобиле, или у хемији, где су тражили еликсир живота и покушавали да праве злато од свега и свачега. Један такав математички перпетум мобиле требало је наћи у облику "сверешавајућег алгоритма". Негде на прелазу између XIII и XIV века Шпанац Лулус, у делу под насловом Ars Magna, инспирисан арапском математиком, описао је један такав универзални поступак. Наравно, био је то промашај што се тиче конструкције самог поступка, али је идеја јасно казана - а то "није за бацање". (Историчар Мориц Кантор за овај Лулусов поступак рекао је да је то "мешавина логике, кабалистичке и сопствене глупости у коју је сам бог зна како, упало и понеко зрно здравог разума".)
Утицај Лулуса на касније математичке ствараоце био је велики. Две стотине година касније Кардано је, у духу Лулуса и опет под називом Ars Magna, формулисао алгебарске алгоритме за решавање једначина, а каснији развитак алгебре протицао је у знаку тражења универзалног алгоритма. Кад је, још стотинак година касније, Декарт увео аналитичку геомeтрију којом се решавање проблема геометрије своди на решавање одговарајућiх проблема у алгебри, изгледало је да расту шансе за проналажење тог "чаробног штапића" у виду општег алгоритма који би у математици био "девојка за све".
Међутим, "тврдих ораха" је одувек у математици било много, па су сви "генијални" поступци о њих ломили зубе. Поступци за чије је описивање било потребно неколико страна текста "падали" су пред проблемима који су се могли исказати у два реда.
Тако су сваком алгоритмизирању измицали популарни древни проблеми удвајања коцке, трисекције угла, квадратуре круга и мање популарни новији проблеми о паралелама, решавању једначине петог степена и представљању степена збиром два степена (Ферматов проблем). Све ово морало је довести до сумње у "велику вештину" - математику. Некако у исто време када су физичари престали да траже перпетум мобиле, хемичари да трагају за еликсиром живота, а филозофи за каменом мудрости, математичари су увидели да општи поступак за решавање свих проблема неће моћи да се конструише.
При формулисању било којег поступка наводе се и средства којима се тај поступак служи: квадратуру круга требало је извести искључиво помоћу шестара и лењира, а тим средствима она се није дала извести. Другим средствима квадратура се може извести, али онда се јављају нови проблеми за чија решавања ни та нова средства нису довољна. И тако даље. Савремени математичар Аустријанац Курт Гедел доказао је, упрошћено речено, да каквим год се средствима служили, увек има проблема за чије решавање наведена средства нису довољна. Ту је и крај сваком сну о великој вештини у математици. Сведена на просту мисао - ту је крај свакој нади да би математика могла имати крај! Од времена Аристотела до данашњих дана већи напредак у логици није учињен од напретка који је учињен радовима Гедела.
Сада се зна: универзалног алгоритма нема. Када се каже да електронски мозак све може, то је пре књижевна фигура него чињеница. Чињеница је само то да електронски мозак много уме, много може и, нарочито, брзо може да изведе оно што уме и може, али он се служи одређеним средствима, а оно што се тим средствима да остварити чини скуп чије се границе даду сагледати.
Велика грешка твораца идеје о великој вештини - о ars magna састојала се у томе што су самим лансирањем мисли о општем поступку као неком камену мудрости, у суштини, исказали мисао о могућем крајњем домету стваралаштва. А таквог краја нема и - добро је што га нема.
Док су алгебра и геометрија ишле свака својим путем, напредовале су споро, а примена им је била ограничена. Откако су се ове науке ујединиле, извукле су једна од друге много, постале виталне и од тада корачају ка савршенству. (Лагранж)
|
Заблуда је веровати да строгост у доказивању иде на уштрб једноставности. Напротив, потврђено је многобројним примерима да строги методи јесу у исти мах и једноставни и лакше доступни усвајању. Напор да постигнемо строгост потпомаже нам да будемо једноставни. (Хилберт)
|
Mатематичар који није помало и песник никад неће бити савршен математичар. (Вајерштрас)
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) |
Математика представља капију и кључ наука. Занемаривање математике наноси штету сваком знању, јер онај који је не зна, не може знати ни друге науке; што је још горе, људи који су у томе незналице неспособни су да схвате своје незнање, па тако ништа и не предузимају да се лече. (Бекон)
|